A solução acatada pelo STF veio do Ministro Barroso em 2016 por ocasião das discussões em questão de ordem na AP 470.

Vamos as premissas da solução encontrada pelo Barroso que capitaneou a maioria do STF:

A alteração no Código Penal em considerar a multa como dívida de valor não retirou dela a natureza penal.
A própria Constituição Federal incumbiu o Ministério Público da titularidade da ação penal e a ele impõe o dever de fiscalizar a execução da pena.
Aqui, um parêntese, o Ministro não enfrenta a natureza jurídica da multa nos termos propostos pelo legislador no art. 51 do CP.

Conclusões do Ministro:

O Ministério Público é o órgão legitimado a promover a execução da pena de multa perante a Vara de Execução Criminal.
Caso o MP, devidamente intimado, não proponha a execução da multa no prazo de 90 dias, o juiz da execução criminal dará ciência do feito para o órgão competente da Fazenda Pública, que procederá à cobrança na própria Vara de Execução Fiscal, com base na Lei da Dívida Ativa.
A interpretação conforme a Constituição que se dá ao artigo 51 do Código de Penal serve para explicitar que a expressão “aplicando-se-lhes as normas da legislação relativa à dívida ativa da Fazenda Pública”, não exclui a legitimação prioritária do Ministério Público para a cobrança da multa na Vara de Execução Penal.
O que se pode concluir? Que o STF legislou e doutrinou mais uma vez e, ao mesmo tempo, cancelou a Súmula 521 do STJ. Tudo em uma decisão só.

Legislou quando criou um procedimento próprio, não previsto em canto nenhum, para a execução da multa criminal com criação até do prazo. Qual o procedimento?

Trânsito em julgado, MP aplica o 164 da LEP, senão o fizer em 90 dias (prazo criado pelo Poder Judiciário Legislador), a Fazenda será notificada para promover a execução fiscal após a inscrição do crédito não tributário em dívida ativa.

Doutrinou quando cria a natureza jurídica dúplice para a multa criminal: sanção penal e dívida de valor ao mesmo tempo.

Cancelou a Súmula 521 do STJ que dizia:

Súmula 521/STJ – 06/04/2015. Pena. Execução penal. Pena de multa. Cumprimento integral da pena privativa de liberdade. Sanção pecuniária pendente de pagamento. Dívida de valor. Legitimidade ativa da Fazenda Pública. Arquivamento da execução criminal. Precedentes do STJ. CP, art. 51. Lei 6.830/1980 (execução fiscal). Lei 9.268/1996.

«A legitimidade para a execução fiscal de multa pendente de pagamento imposta em sentença condenatória é exclusiva da Procuradoria da Fazenda Pública.»

https://blog.ebeji.com.br/stf-e-a-natureza-juridica-da-multa-criminal-mp-x-agu-pge/